sábado, 27 de noviembre de 2010

UNIDAD 3: ALGEBRA TRADICIONAL

3.1-Expresiones algebraicas:clasificacion y operaciones

3.1.1-Expresiones algebraicas en contexto

3.1.2-El lenguaje algebraico en contexto

3.1.3-Valor numerico de expresiones algebraicas en contexto

3.1.4-Operaciones algebraicas con monomios, binomios y trinomios

3.1.5-Los productos notables

3.1.6-La factorizacion

3.1- Expresiones algebraicas: clasificacion y operaciones

Una expresion algebraica es dónde exista variable, es una expresión algebraica que consta de un sólo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + ó -.

Las expresiones algebraicas se clasifican en:
  • Monomio
  • Binomio
  • Polinomio
MONOMIO: Es una expresión algebraica que consta de un solo término,las unicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de xponente natural.
Un monomio posee una serie de elementos con denominacion especifica:
  1. signo
  2. coeficiente
  3. perte literal
  4. grado
Ejemplos: 

BINOMIO:  Es una expresión algebraica que consta de 2 términos, se refiere a un polinomio formado por dos monomios, se usa mas facil para indicar cualquier expresion que consta de una suma o resta de dos terminos.
Al afectuar productos con binomios que tienen los mismos terminos podemos obtener lo siguiente:
(a+b)2 = (a+b) (a+b).

Ejemplos:

POLINOMIO:  Es una expresión algebraica que consta de más de un término, se encuentra sobre un anillo conmutativo A constituida por un numero finito de variables y constantes, utilizando solamente en operaciones de adiccion, sustraccion, multiplicacion y potenciacion con exonentes de numeros naturales.

Ejemplos:

Las operaciones de las expresones algebraicas son:
  • la suma
  • la resta
  • la multiplicacion
  • la division
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Se suman ó restan los coeficientes ( fracciones), se deja la misma parte literal con sus grados. Se antepone el signo del término que tenga el mayor coeficiente numerico.

MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar expresiones algebraicas no es necesario que los términos sean semejantes. Se multiplican los coeficientes (fracciones), se deja la misma parte literal y se suman los grados. Si los 2 ó más términos tienen signos iguales se antepone (+) al término. Si tienen signos contrarios se debe anteponer (-).
Ejemplos: 3xy (4x2y3) = 12x3y4


DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para dividir expresiones algebraicas no es necesario que los términos sean semejantes. Se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados.
Ejemplos: 3xy / 4x2y3 = 3 / 4xy2

3.1.1- Expresiones algebraicas en contexto

Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos +, -, x, ÷ en un número finito.
En la solución de un ejercicio, problema de una teoría, un símbolo (generalmente una letra) que se usa para representar un número real arbitrario se llama variable real.

Dentro del proceso de solución de un ejercicio o problema, un simbolo que se usa para representar un número real fijo se llama constante real.

Una expresión algebráica es una cadena de símbolos matemáticos que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones de dichas funciones. Suena muy revuelto pero como ejemplo veamos las siguientes tres expresiones:

'Expresión algebráica'
En estas expresiones vemos involucrados: números y letras sumados, multiplicados, divididos, con exponentes de varios tipos, con raíces cuadradas y hasta logaritmos; así de complejas pueden ser las expresiones algebráicas.


necesitaremos conocer los elementos de las expresiones algebráicas, y establecer un orden para las operaciones:
'Expresión algebráica'
Son cantidades expresadas con letra que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Casi siempre se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc.) para denotar variables.
'Expresión algebráica'
Son cantidades fijas expresadas con letra, casi siempre se utilizan las primeras letras del abecedario para denotar constantes (a, b, c, etc).
'Expresión algebráica'
Son los números que aparecen multiplicando a las variables.
'Expresión algebráica'
Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.
Son ciertas partes que componen una expresión algebráica que en los polinomios se identifican muy fácilmente.

3.1.2- El lenguaje algebraico en contexto

Se le llama lenguaje algebraico al utilizado para la representacion de valores numericos, cuando estos son desconocidos en magnitud, este lenguaje es el metodo que permite simplificar teoremas o problemas matematicos mostrando generalidades.
Parapoder solucionar los problemass de la vida cotidiana, solemos transcribir a un lenguaje matemático quees el lenguaje algebraico, este lenguaje utiliza letras, números y símbolos matemáticos.

Entonces el lenguaje algebraico es aquel que en el que en su estructura siempre figuran cantidades deconocidas para esto se utilizan frases como; "un numero " "se sabe que una cantidad es el doble de otra" y estas expresiones se unen con los nombres de operaciones basicas para darles un sentido o una relacion entre las variables del problema. ejemplo:

un numero mas cinco es tres veces menor que otro.

Siempre que encontremos la palabra es; este se transformara matematicamente a un signo igual.
Ejemplos:
Juan gasto $16 en dos sombreros, si uno le costo la mitad del otro cuanto le costó cada uno.


esto se representaria como
x+x/2=16



2. Si a un numero se le resta dos se obtendria la mitad de dicho numero.

x-2=x/2

3. la suma de 4 numeros es 5.

x+y+w+z=5


4. la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos numeros es diez.
_______
Vx^2+y^2 =10

5. la raiz cuadrada de la suma de dos numeros elevados al cuadrado es 10.
__________
V( x + y ) ^2 =10
se cancelaria el cuadrado y la epresion equivalente seria

x+y=10

NOTA. SI TE DAS CUENTA. POR EL EJ 4 Y 5 EN EL LENGUAJE ALGEBRAICO EL ORDEN EN QUE SE DICEN LAS COSAS AFECTA COMO SE ESCRIBIRA FUTURAMENTE LA EXPRESION, POR ESO HAY QUE TOMAR EN CUENTA LAJERARQUIA DE OPERACIONES CUANDO SE TRASLADAN A FORMA ALGEBRAICA.

Forma   verbal
Forma escrita

Forma verbal
Forma escrita
Suma + El triple de un número
3x
Diferencia - El cuádruplo de un número
4x
Producto ( ) ( ), . , ab El quíntuplo de un número
5x
Cociente /, ÷ El doble de la suma de dos números 2(a+b)
Raíz cuadrada El triple de la diferencia de dos números
3(x-y)
Potencia ( )n dónde n , es cualquier número La mitad de un número
X/2
Un número cualquiera
X
La mitad de la diferencia de dos números
La suma de dos números
A + b
La cuarta parte de un número
X/4
La resta o diferencia de dos números
X – y
El cuadrado de un número
X2
El producto de dos números
Ab
El cuadrado de la suma de dos números
(x + 4 ) 2
El cociente de dos números
X/y
El triple del cuadrado de la suma de dos números.
3(x+4)2
La raíz cuadrada de un número
La suma de 3 números
A+b+c
El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia
La semi suma de dos números.
El doble de un número 2x El cubo de la semi diferencia de dos números

3.1.3- valor numerico de expresiones algebraicas en contexto

Es un número que obtenemos al sustituir las letras de una expresión algebraica por números.

Se llama valor númerico de una expresión algebraica al número que se obtienes al sustituir cada una de sus variables por el valor que se les halla asignado de antemano, y de efectuar la operación indicada.

Ejemplo:

a.) Determine el valor numérico de-x2+3x-4, si x = 2


b.) Determine el valor numérico de -6ax3 y2 si a = 5, x=1, y=2

Solución:

a.) Sustituyendo  por el valor asignado a -x2+3x -4, se obtiene que:



-(2)2 +3(2) -4
= -4 +6 -4
= -2

Por lo que si x = 2, el valor numérico de , -x2 +3x – 4, es -2


b.) Sustituyendo las variables a, x, y por los valores asignados, en 6ax3 y2 se obtiene que:


-6(5)(1)2 (-2)2
A(x) + B (x)
= - 120
 
Por lo que: si a=5, x=1, y=2, el valor numérico de 6axy3 y2 es -120.

3.1.4- Operaciones algebraicas con monomios, binomios y trinomios

OPERACIONES ALGEBRAICAS CON MONOMIOS:

Suma
Si los monomios que se van a sumar son términos semejantes entre sí, se suman los coeficientes y se mantienen idénticas las literales y sus exponentes. En este caso el resultado de la suma es también un monomio. Si no son términos semejantes no se puede realizar la operación de suma y solamente queda expresada la suma. La suma de monomios cumple con las propiedades asociativa y conmutativa. El monomio neutro para la suma o monomio cero es el número 0. El opuesto de un monomio se obtiene cambiando el signo (+ por y por +, si no tiene signo entonces el signo implícito es +). Si a un monomio se le suma su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).

Ejemplos:

1)Sumar los monomios – 2x2 y + x2.
como son términos semejantes se reducen:
– 2x2 + x2 = – x2
  
2)Sumar los monomios x5 y 3x3
Como no son términos semejantes solo queda expresada la suma:
x5 + 3x3
3)Hallar el opuesto de – x2.
Para obtener el opuesto de se cambia su signo. El opuesto es: 
+ x2, del cual no es necesario mostrar su signo, por lo tanto queda solo x2

Resta
La resta o diferencia de monomios se obtiene al sumar al primer monomio el opuesto del segundo monomio.
Ejemplo: Restar al monomio 3x el monomio – x.
Se obtiene el opuesto del segundo monomio cambiando el signo − por +, el cual en este caso no es necesario escribir el signo:
x
Se suma el primer monomio al opuesto del segundo. Como son términos semejantes se reducen:
3x + x = 4x

Producto
La multiplicación de monomios se obtiene al multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes de las literales similares.
Ejemplo. Multiplicar los monomios 2x4y2 y 3x2y3
Se multiplican los coeficientes: (2)(3) = 6, se suman los exponentes de x: 4 + 2 = 6 y se suman los exponentes de y: 2 + 3 = 5 quedando:
6x6y5
Ejemplo. Multiplicar los monomios xy3z y -5xy
Se multiplican los coeficientes: (1)(-5) = -5, se suman los exponentes de x: 1 + 1 = 2, se suman los exponentes de y: 3 + 1 = 4 y se suman los exponentes de z: 1 + 0 = 1 quedando:
-5x2y4z

División
La división de monomios se obtiene al dividir los coeficientes y restar los exponentes de las literales similares.
Ejemplo. dividir el monomio 6x4y2 entre el monomio 3x2y
Se dividen los coeficientes: 6/3 = 2, se restan los exponentes de x: 4 - 2 = 2 y se restan los exponentes de y: 2 - 1 = 1 quedando:
2x2y
Ejemplo. Dividir el monomio -xy3z2 entre el monomio -5x3y3
Se dividen los coeficientes: (-1)(-5) = 1/5, se restan los exponentes de x: 1 - 3 = -2, se restan los exponentes de y: 3 - 3 = 0 y se restan los exponentes de z: 1 - 0 = 1 quedando:
(1/5)x-2z = (1/5)(z/x2)

OPERACIONES ALGEBRAICAS CON BINOMIOS:

Suma 
Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.
Ejemplo:


Resta
La resta de dos operaciones algebraicas se realiza de manera similar a como se hace con la suma de operaciones algebraicas, es decir se realizan las restas entre dos términos semejantes.

Ejemplo:  Restar x - y de 2x - 2y:
 
 (x-y) - (2x+2y) = x-y-2x-2y = (x-2x) + (-y -2y) = -x -3y

Multiplicación 
Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.
Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
Ejemplos:
1-  (x2)(xyz) = x2+1yz =x3yz
2- (3x2 y2)(5x3 y2) = 3.5. (x2+3 y2+2) = 15x5 y4
3- (7ª2 b6)(a5b) = 7a 7 b7


División
Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.
Ejemplos: Dividir  32xy2entre 2xyz:
 

3.1.5- Los productos notables

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.
Por ejemplo:
De un binomio: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Cubo de un binomio: (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomios conjugados: (a+b)(a—b) = a2 - b2
Binomios con término común: (x+b)(x+d) = X2 + (b+d)X + bd
Binomios con término semejante: (ax+b)(cx+d) = acX2 + (ad + bc)x + bd
Producto de la forma: (a+b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a-b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

  • Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.


  • Ejemplo: (a+b)2= a2+2ab+b2


  • Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.


  • Ejemplo: (a-b)2= a2-2ab+b2


  • Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo.


  • Ejemplo: (a+b)3= a3+3a2b+3b2a+b3


  • Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo.


  • Ejemplo: (a-b)3= a3-3a2b+3b2-b3


  • La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.


  • Ejemplo: (a+b) (a-b)= a2-b2


    FÓRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

    CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES CUBO DE UNA SUMA
    ( a + b )2 = a2 + 2ab +b2
    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES CUBO DE UNA DIFERENCIA
    ( a - b )2 = a2- 2ab + b2
    (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -b3
    PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA
    (a + b) (a - b) = a2 -b2
    (x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x +ab